Was sind Risikoprämien? Und wie definiert man Risikoaversion oder -affinität?

04.09.2019 - Tim David Brachwitz
Stell dir vor ich biete dir drei Optionen an. Ich schenke dir ein Los, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% 49€ und mit 50% 1€ gewinnt. Oder aber ein Los, das mit Wahrscheinlichkeit von 50% einen Gewinn von 30€ und mit 50% 20€ bringt. Beide Lose haben den selben Erwartungswert und zwar 25€. Als letztes steht dir die dritte Option zur Verfügung: 25€ bar auf die Kralle. Für welche Option entscheidest du dich? Welche Option ist wie risikoreich? Wie messen wir das Risiko? Können wir Spieler (Investoren) in verschiedene Risikoklassen einordnen? Können wir Optionen bzw. Investitionen ein Risikomaß zuordnen?
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Angenommen dein Chef zahlt diesen Monat dein Gehalt nicht einfach so aus, sondern wirft eine Münze.
  • Bei Kopf bekommst du das doppelte deines Gehaltes plus einen Bonus von 100€.
  • Bei Zahl gehst du diesen Monat leer aus.
Hier ist das erwartete Gehalt durch den Bonus von 100€ größer als dein einfaches Gehalt. Menschen, die auf das Gehalt kurzfristig nicht angewiesen sind, fänden die risikoreichere Gehaltszahlung möglicherweise gut. Trotzdem gibt es Menschen, die keine Ersparnisse haben und das Geld benötigen, um deine Miete zu bezahlen. Das Ziel ist nicht einfach den Erwartungswert maximieren sondern zu quantifizieren wie schlimm das Verlustszenario gegenüber dem Gewinnszenario ist.
Für diese Art der Entscheidungen behilft man sich im Risikomanagement mit dem Konzept von Nutzenfunktionen. Jedes Gut, das du besitzt stellt dir Nutzen in einem gewissen Maß zur Verfügung. Dein Auto nützt dir, deine Lebensmittel bringen dir einen Nutzen und Geld nützt dir. Was man jedoch beobachten kann ist, dass eine Häufung eines Guts mit Erhöhung der Menge an Nutzen verliert. Das heißt: Dein erstes Auto schafft großen Nutzen, da du jederzeit damit herumfahren kannst. Dein zweites Auto bringt dir auch Nutzen jedoch weniger als das erste Auto, denn du können nicht gleichzeitig mit beiden Autos fahren. Je mehr Autos du besitzt, desto nutzloser wird jedes weitere. Den Verlust an Nutzen beschreibt man durch das Konzept des abnehmenden Grenznutzens oder auch Gossensche Gesetz.
Um dies zu modellieren führen wir Nutzenfunktionen ein. Nutzenfunktionen quantifizieren den Nutzen eines Guts. Unser Ziel beim Investieren wird es nicht den puren Ertrag zu maximieren sondern den Nutzen, den der Ertrag bringt.
Die einfachste Nutzenfunktion dieser Art ist die Wurzelfunktion. Dann bringt das erste Auto einen Nutzen von 1. Das zweite Auto nur noch einen Nutzen von . Das dritte . Erst das vierte Auto bringt einen Nutzen von .
Anzahl der Autos
Nutzen
1
1
2
1.4142
3
1.73
4
2
Das gleiche Konzept findet auch bei Geld Anwendung. Stell dir den Nutzen deines Gehalts vor. Die ersten Euros, die du verdienst, sind sehr wichtig, denn damit muss man seinen Lebensunterhalt bestreiten. Mit mehr Geld kann ich mir natürlich mehr Dinge kaufen und habe auch einen höheren Nutzen jedoch irgendwann spielt es keine große Rolle mehr, ob ich 50.000€ oder 51.000€ pro Monat verdiene. Der gefühlte Unterschied zwischen 50.000€ zu 51.000€ ist viel geringer als zwischen 0€ (arbeitslos) und 1000€.
Kommen wir zurück zu unserem Beispiel. Wir haben zwei Möglichkeitem, die unsichere Ausgänge haben. Eine mit potenziellen Gewinnen von 1€ oder 49€. Jetzt wenden wir darauf unsere Nutzenfunktion an. Wir messen wieviel Nutzen uns der erste Euro bringt und wieviel der 49. Euro.
Ausgang des Investments
Nutzen des Ertrages
1
1
49
7
Diese beiden Möglichkeiten tragen wir in einem Diagramm ab. In Blau haben wir die Wurzelfunktion gezeichnet, die unsere Nutzenfunktion darstellt.
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Wir können auch nun den Erwartungswert eintragen, den wir bereits berechnet haben. Wir setzen an der x-Achse am Punkt 25 an und ziehen eine Linie bis nach oben bis wir die Nutzenfunktion treffen. Und tragen den Funktionswert nach links ab. Wurzel aus 25!? Natürlich 5. Das heißt im Erwartungswert bringt uns diese Option einen Nutzen von 5.
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Wir können es aber auch andersherum machen. Wir tragen nicht den Erwartungswert des Ertrages direkt ab sondern berechnen den Erwartungswert des Nutzens. Das heißt wir können das gleiche Spiel auf der y-Achse machen. Die möglichen Nutzen, die wir erreichen können sind: 1 und 7. Der Mittelwert dieser beiden ist . Jetzt können wir auf der y-Achse die 4 abtragen und den passenden x-Wert dazu finden. Das wäre in diesem Fall
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Diesen x-Wert nennt man Sicherheitsäquivalent (certainty equivalent). Die Differenz zwischen Erwartungswert und Sicherheitsäquivalent nennt man Risikoprämie. Die Risikoprämie ist der Betrag, den mir jemand jetzt und sofort in bar zahlen müsste, damit ich die risikoreiche Investition genauso bewerte wie eine Investition, bei der ich sicher zu 100% 25€ erhalte. Das ist in unserem Beispiel . Das heißt mir müsste jemand mehr als 9€ in die Hand drücken damit ich die risikoreiche Investition bevorzuge.
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Und genau durch die Wahl der Nutzenfunktion definiert man die Risikoeinstellung. Ein Investor, der die Risikonutzenfunktion verwendet, erhält immer ein Sicherheitsäquivalent, das gleich dem Erwartungswert der Investition ist. Daher verlangt er eine Risikoprämie von 0 Euro. Ist die Risikonutzenfunktion konvex handelt es sich um einen risikoaffinen Investor, der immer die Investition wählt, die risikoreicher ist. In der Realität haben die meisten eine Risikoaversion. Das sind alle konkaven Funktionen wie die Wurzelfunktion oder Logarithmus. Zusammengefasst: Du kannst deine eigene Risikoneigung als Nutzenfunktion modellieren. Sobald du dies getan hast, kannst du Investitionen nach der Risikoprämie ordnen. Zurück zum Eingangsbeispiel. Die Entscheidung welche Option du wählst, hängt von deiner Nutzenfunktion ab. Die Nutzenfunktion ist gegeben durch
Das Sicherheitsäquivalent berechnet sich aus
Die Risikoprämie ist
Berechnen wir die konkrete Werten für unsere Möglichkeiten.
Dazu brauchen wir noch eine kleine Regel wie man Erwartungswerte von transformierten Zufallsvariablen berechnet.
Diese Regel lautet
Wir kennen die Umkehrfunktion der Wurzelfunktion
Dann sind die konkreten Werte der Optionen
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Jetzt haben wir ein Risikomaß nach dem wir die Investitionen ordnen können. Wir sehen, dass die Risikoprämie bei Option 2 sehr klein ist. Das liegt daran, dass die beiden Ausgangsszenarien nicht sehr stark vom Erwartungswert abweichen, was heißt, dass das Worst-Case-Szenario (20€) gar nicht so schlimm ist. Mit unserer Nutzenfunktion können wir nun auch eine 4. Option basteln, die nach unserem Maß äquivalent zur sicheren Alternative ist. Durch dieses Maß lassen sich also alle Investitionen vergleichen. Mit diesem Ansatz kann man viele verschiedene Risikoeinstellungen modellieren.